∂导数完整知识体系
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利用导数解决简单优化问题

实际优化问题先建立目标函数和可行定义域，再用导数寻找使目标函数取最值的自变量。

实际优化与变化率应用1 条知识关系4 个内容块
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INTERACTIVE互动演示

周长固定为 20 时，什么形状使矩形面积最大？

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周长约束

A(w)=w(L2−w)A(w)=w\left(\frac L2-w\right)

矩形周长 L>0，宽度 0<w<L/2。

最大面积

w=L4,Amax⁡=L216w=\frac L4,\quad A_{\max}=\frac{L^2}{16}

A′=L/2−2w；长宽相等时取得最大面积。

优化问题四步

  1. 选变量并写清实际约束；
  2. 建立目标函数；
  3. 在可行区间内用导数求最值；
  4. 把数学结果还原成实际量，并检查是否满足题目条件。

定义域是模型的一部分

实际问题中的长度、时间、数量、成本等通常有额外限制。求导得到的极值点若不在可行范围内，就不能作为实际最优解；边界值也必须纳入比较。

RELATIONS

知识连接

→ USES利用导数求闭区间最值优化问题可通过闭区间/定义域上的最值求解。