∂导数完整知识体系
Concept Wiki · Release v7

方法 · CONCEPT WIKI

利用导数求闭区间最值

利用导数求闭区间最值，需要找区间内临界点并与端点函数值一起比较。

极值与最值4 条知识关系4 个内容块
切到老师讲解舞台 →
INTERACTIVE互动演示

端点通常不满足 f′(x)=0，为什么它仍然可能取得最大值或最小值？

完整讲解 →
正在载入互动图…

候选集合

S={a,b}∪{c∈(a,b):f′(c)=0 或 f′(c)不存在}S=\{a,b\}\cup\{c\in(a,b):f'(c)=0\text{ 或 }f'(c)\text{不存在}\}

f 在 [a,b] 连续，候选点集合有限。

比较函数值

max⁡[a,b]f=max⁡x∈Sf(x),min⁡[a,b]f=min⁡x∈Sf(x)\max_{[a,b]}f=\max_{x\in S}f(x),\quad\min_{[a,b]}f=\min_{x\in S}f(x)

端点和全部内部临界点一并比较。

闭区间最值四步

  1. 求 f′(x)f'(x)；
  2. 找出 (a,b)(a,b) 内的临界点；
  3. 计算各临界点以及 a,ba,b 处的函数值；
  4. 比较这些值，最大者为最大值，最小者为最小值。

先确认定义域包含整个比较区间

若函数在区间内有无定义点，应先按定义域拆分，不能机械套用闭区间连续函数的最值流程。

RELATIONS

知识连接

← PREREQUISITE_OF利用导数求函数极值闭区间最值通常先找区间内极值候选。→ USES闭区间函数最大值与最小值必须同时比较驻点/极值候选和区间端点。← USES利用导数解决简单优化问题优化问题可通过闭区间/定义域上的最值求解。← USES恒成立问题的最值转化恒成立参数问题常转化为函数在给定范围上的最值约束，再用导数求最值。