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恒成立问题的最值转化

恒成立问题常可转化为某个函数在给定范围内的最大值或最小值约束。

参数、恒成立与不等式证明2 条知识关系4 个内容块

INTERACTIVE互动演示

要使不等式对所有 x 都成立，函数的最小值需要满足什么条件？

正在载入互动图…

上位知识

\forall x\in D,\ a\ge g(x)\iff a\ge\sup_{x\in D}g(x)

D 非空且 g 在 D 上有上界；能取到上确界时可写 max。

\forall x\in D,\ a\le g(x)\iff a\le\inf_{x\in D}g(x)

D 非空且 g 在 D 上有下界；能取到下确界时可写 min。

例如要求 $a\ge g(x)$ 对所有 $x$ 都成立，本质上要求 $$a\ge \max g(x).$$ 类似地， $a\le g(x)$ 对所有 $x$ 成立，通常要比较 $\min g(x)$ 。导数用于求这个全局最值。

转化前先把参数和自变量分离清楚，并检查乘除变量表达式时符号是否确定，否则不等号方向可能发生变化。

RELATIONS