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存在性问题的值域或最值转化

存在性问题常可转化为参数是否落在某个函数的值域内，或某个函数能否达到指定水平。

参数、恒成立与不等式证明2 条知识关系4 个内容块

上位知识

\exists x\in D:\ g(x)=a\iff a\in g(D)

g(D) 为 g 在 D 上的值域，端点取舍按是否取到判断。

\exists x\in D:\ g(x)\ge a\iff\max_D g\ge a

本式以最大值存在且能取到为前提。

若条件能整理成 $a=g(x)$ ，那么“存在 $x$ 使条件成立”就是参数 $a$ 是否属于 $g$ 的值域。导数可用于求 $g$ 的单调性和极值，从而确定值域范围。

“存在”只要求至少有一个可行 $x$ ；“恒成立”要求所有 $x$ 都满足。前者常看值域是否覆盖参数，后者常看最值是否越过边界。

RELATIONS