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导数法证明不等式

导数法证明不等式通常把不等式移项构造成函数，再通过单调性或最值证明该函数始终非负或非正。

参数、恒成立与不等式证明3 条知识关系4 个内容块

INTERACTIVE互动演示

如果要证明 A≥B，能不能把问题改成“一个函数永远不低于 0”？

正在载入互动图…

上位知识

下位知识

F(x)=A(x)-B(x),\quad A\ge B\iff F\ge0

在原不等式定义域内等价。

h(x)=x-1-\ln x,\quad h'(x)=1-\frac1x

x>0，h 在 x=1 处取得最小值 0。

证明 $A(x)\ge B(x)$ 时，常令 $F(x)=A(x)-B(x)$ ，目标变成证明 $F(x)\ge0$ 。接下来用导数研究 $F$ 的单调性、极值或最小值。

好的辅助函数应该让目标结论直接变成“函数恒非负/恒非正”，并让导函数的符号容易判断。若直接移项后结构很差，可以尝试同除正量、取对数或重组表达式，但每一步都要先保证等价或同向。

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