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导数概念及其意义

导数描述函数在一点附近的瞬时变化快慢，是从平均变化率取极限得到的局部量。

从变化率理解导数0 条知识关系4 个内容块

INTERACTIVE互动演示

一个点没有长度，为什么还能谈这个点的变化快慢？

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\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h

h≠0，两个自变量均在定义域内。

\lim_{h\to0}\frac{\Delta y}{h}=f'(x_0)

极限存在且有限。

导数不是单纯的“求导结果”，而是一个局部变化率。平均变化率观察的是一个区间；让区间长度逐渐缩小到 0，就得到函数在某一点的瞬时变化率。

导数的意义决定了后续所有应用： $f'(x)>0$ 表示附近总体向上变化， $f'(x)<0$ 表示附近总体向下变化；在切线问题中， $f'(x_0)$ 又表示曲线在该点的切线斜率。