导数完整知识体系 · 知识库

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$$

差商极限存在且有限时，函数在内点 x₀ 处可导。

$$f'(x)>0\ (x\in I)\Rightarrow f\text{在 }I\text{ 上严格递增}$$

I 为区间，f 在 I 上可导；导数处处为负时严格递减。

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$$

h≠0，两个自变量均在定义域内。

$$\lim_{h\to0}\frac{\Delta y}{h}=f'(x_0)$$

极限存在且有限。

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

a≠b，割线经过 (a,f(a)) 和 (b,f(b))。

$$f(x)=x^2\quad\Rightarrow\quad\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=a+b$$

同一个函数在不同区间的平均变化率可以不同。

若自变量从 $x_1$ 变化到 $x_2$，则平均变化率为

$$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$$

h 趋于 0 且始终非零。

$$v(t_0)=s'(t_0)$$

s 为位移函数，并在 t₀ 处可导。

在 $x_0$ 附近令增量为 $\Delta x$，若极限存在，则

$$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

就是函数在 $x_0$ 处的瞬时变化率。

$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$$

内点处差商有唯一有限极限。

$$f(x)=x^2:\quad f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$$

由 (x+h)²−x²=2xh+h² 化简差商。

若极限存在，定义

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

$$k=f'(x_0)$$

f 在 x₀ 处可导。

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$

切点为 (x₀,f(x₀))。

若 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则曲线在点 $P(x_0,f(x_0))$ 的切线斜率为

$$k=f'(x_0).$$

切点已知时，最直接的切线方程是

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

$$k=f'(x_0)$$

导数为曲线在对应点的切线斜率。

$$k=\tan\alpha$$

切线非竖直，0≤α<π，α≠π/2。

若曲线 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则切点 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率为 $$k=f'(x_0).$$ 已知导数就能得到斜率；已知切线斜率条件，也可以反过来建立关于 $x_0$ 或参数的方程。

$$k_h=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$$

h≠0。

$$\lim_{h\to0}k_h=f'(x_0)$$

f 在 x₀ 处可导。

固定 $P(x_0,f(x_0))$，取邻近点 $Q(x_0+\Delta x,f(x_0+\Delta x))$，割线斜率为 $$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$ 当 $\Delta x\to0$ 且极限存在时，割线方向趋近于切线方向。

$$(af+bg)'=af'+bg'$$

a、b 为常数，f、g 可导。

$$[F(g(x))]'=F'(g(x))g'(x)$$

g 在 x 处可导，F 在 g(x) 处可导。

$$\Delta y=f(x+h)-f(x)$$

h≠0，x 与 x+h 在定义域内。

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\Delta y}h$$

先建立差商，再计算有限极限。

$$(x^n)'=nx^{n-1}$$

n 为正整数时适用于所有实数；一般实数幂可在 x>0 上使用。

$$(e^x)'=e^x,\qquad (a^x)'=a^x\ln a$$

a>0。

$$(\ln x)'=\frac1x,\qquad(\log_a x)'=\frac1{x\ln a}$$

x>0，a>0 且 a≠1。

$$(\sin x)'=\cos x,\qquad(\cos x)'=-\sin x$$

角度用弧度表示。

$$(x^n)'=nx^{n-1},\qquad (e^x)'=e^x,\qquad (a^x)'=a^x\ln a$$

$$(\ln x)'=\frac1x,\qquad (\sin x)'=\cos x,\qquad (\cos x)'=-\sin x.$$

$$(u\pm v)'=u'\pm v'$$

u、v 在所讨论的点可导。

$$(uv)'=u'v+uv'$$

u、v 在所讨论的点可导。

$$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

u、v 可导，v≠0。

$$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x)$$

$$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$$

$$\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2},\quad v(x)\ne0.$$

$$(u\pm v)'=u'\pm v'$$

u、v 可导。

$$(cu)'=cu'$$

c 为常数，u 可导。

若 $u,v$ 可导，常数 $c$ 不随 $x$ 变化，则 $$[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x),\qquad [cu(x)]'=cu'(x).$$ 多项式求导本质上就是反复使用这两条规则。

$$(uv)'=u'v+uv'$$

u、v 可导。

$$(xe^x)'=(x+1)e^x$$

分别对 x 和 eˣ 求导后按乘积法则合并。

$$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).$$ 可以记成“前导后不导 + 前不导后导”。

$$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

u、v 可导且 v≠0。

$$\left(\frac{\ln x}{x}\right)'=\frac{1-\ln x}{x^2}$$

x>0。

当 $v(x)\ne0$ 时，$$\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.$$

$$u=g(x),\quad y=F(u)$$

复合函数为 y=F(g(x))。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$

内函数可导，外函数在相应函数值处可导。

例如 $y=(2x+1)^5$，可把 $u=2x+1$ 看成内层，则 $$y'=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4.$$

$$[f(ax+b)]'=af'(ax+b)$$

a、b 为常数，f 在相应点可导。

$$[\sin(3x+1)]'=3\cos(3x+1)$$

内函数 3x+1 的导数为 3。

若 $y=f(ax+b)$，则 $$y'=a f'(ax+b).$$ 例如 $[\sin(3x+1)]'=3\cos(3x+1)$。

$$y=x^2\ln x=u(x)v(x)$$

取 u=x²、v=ln x，定义域 x>0。

$$y'=2x\ln x+x$$

应用幂函数、对数函数及乘积求导法则。

$$f'(x)>0\Rightarrow f\nearrow,\qquad f'(x)<0\Rightarrow f\searrow$$

结论针对同一区间内处处成立的导数符号。

$$f'(x_0)=0\Rightarrow k=0$$

f 在 x₀ 处可导。

$$\forall x\in I,\ f'(x)>0\Rightarrow f\text{严格递增}$$

f 在区间 I 上可导。

$$\forall x\in I,\ f'(x)<0\Rightarrow f\text{严格递减}$$

f 在区间 I 上可导。

在适当条件下，区间内若 $f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在该区间单调递增；若 $f'(x)<0$，则 $f(x)$ 单调递减。

$$f'(x)=A(x)B(x),\ A(x)>0\Rightarrow\operatorname{sgn}f'=\operatorname{sgn}B$$

A 恒正的范围必须覆盖讨论区间。

$$f'(x)=3(x-1)(x+1)$$

在 (−∞,−1)、(1,+∞) 上为正，在 (−1,1) 上为负。

在一个区间内，若 $f'(x)>0$，则 $f$ 在该区间单调递增；若 $f'(x)<0$，则 $f$ 在该区间单调递减。实际判断时通常先求 $f'(x)=0$ 的临界点，再分区间讨论符号。

$$f'(x)=0$$

同时检查原函数定义域的边界与导数不存在的点。

$$f(x)=x^3-3x,\quad f'(x)=3(x-1)(x+1)$$

递增区间 (−∞,−1)、(1,+∞)，递减区间 (−1,1)。

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\quad f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

a≠0。

$$\Delta=4b^2-12ac$$

Δ>0 有两个不同驻点；Δ≤0 时导数不发生两次变号。

若 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，则 $$f'(x)=3ax^2+2bx+c.$$ 因此原函数单调性可转化为二次函数 $f'(x)$ 的符号问题。

$$(x,f(x))\longleftrightarrow(x,f'(x))$$

原函数切线的斜率等于导函数在相同横坐标处的函数值。

$$f'>0\Rightarrow f\nearrow,\qquad f'<0\Rightarrow f\searrow$$

导数符号须在讨论的整个区间内成立。

$$f'(x)>0\ (x\in I)\Rightarrow f\text{在 }I\text{上严格递增}$$

f 在 I 上可导。

$$f'(x)<0\ (x\in I)\Rightarrow f\text{在 }I\text{上严格递减}$$

f 在 I 上可导。

$$f\text{在 }I\text{上递增且可导}\Rightarrow f'(x)\ge0$$

递增函数在个别点的导数可以等于 0。

$$f(x)=x^3,\quad f'(x)=3x^2,\quad f'(0)=0$$

x³ 在实数上严格递增，x=0 处切线水平。

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\quad a\ne0$$

函数的单调性由二次导函数确定。

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c,\quad\Delta=4b^2-12ac$$

Δ>0 有两个极值点；Δ≤0 时函数整体严格单调。

$$f_a(x)=x^3-3ax,\quad f_a'(x)=3(x^2-a)$$

a∈ℝ。

$$a>0:\ x=\pm\sqrt a;\qquad a\le0:\text{无极值点}$$

a=0 时 x=0 为驻点，导数两侧同为正。

$$f(x)\le f(x_0)\quad (|x-x_0|<\delta)$$

存在 δ>0，比较点限定在定义域内的邻域。

$$f(x)\ge f(x_0)\quad (|x-x_0|<\delta)$$

存在 δ>0，比较点限定在定义域内的邻域。

$$x_0\text{ 为内点极值点且 }f\text{ 可导}\Rightarrow f'(x_0)=0$$

可导性与内点条件均需满足。

$$f':+\to-\Rightarrow\text{极大值};\quad-\to+\Rightarrow\text{极小值}$$

f 在该点连续，两侧邻域可导且具有所示严格符号。

若 $f$ 在内点 $x_0$ 可导且在 $x_0$ 取得极值，则通常有

$$f'(x_0)=0.$$

$$f(x)=x^3-3x,\quad f'(x)=0\iff x=\pm1$$

结合两侧导数符号分类。

$$f(-1)=2,\qquad f(1)=-2$$

x=−1 为极大值点，x=1 为极小值点。

$$M=f(x_M),\quad\forall x\in D,\ f(x)\le M$$

x_M∈D，最大值必须能够取到。

$$m=f(x_m),\quad\forall x\in D,\ f(x)\ge m$$

x_m∈D，最小值必须能够取到。

$$f\in C([a,b])\Rightarrow\exists\min_{[a,b]}f,\max_{[a,b]}f$$

连续函数在有限闭区间上能取到最大值和最小值。

$$S=\{a,b\}\cup\{c\in(a,b):f'(c)=0\text{ 或 }f'(c)\text{不存在}\}$$

在候选集合有限时逐个计算函数值并比较。

$$S=\{a,b\}\cup\{c\in(a,b):f'(c)=0\text{ 或 }f'(c)\text{不存在}\}$$

f 在 [a,b] 连续，候选点集合有限。

$$\max_{[a,b]}f=\max_{x\in S}f(x),\quad\min_{[a,b]}f=\min_{x\in S}f(x)$$

端点和全部内部临界点一并比较。

$$1\le\deg f\le3\Rightarrow\deg f'\le2$$

非恒定多项式至多有两个驻点。

$$S=\{a,b\}\cup\{c\in(a,b):f'(c)=0\}$$

三次及以下非恒定多项式在闭区间上至多比较四个位置。

$$k=f'(t)$$

t 为切点横坐标，函数在 t 处可导。

$$y=f(t)+f'(t)(x-t)$$

切线经过 (t,f(t))。

若切点为 $(x_0,f(x_0))$，切线斜率为 $k$，则

$$k=f'(x_0),$$

并且切线经过切点。已知外部点时，还要把该点代入切线方程。

$$P=(x_0,f(x_0))$$

已知切点横坐标 x₀。

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$

f 在 x₀ 处可导。

若切点横坐标为 $x_0$，则切点为 $(x_0,f(x_0))$，斜率为 $f'(x_0)$，所以 $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$

$$f'(t)=k$$

切点横坐标 t 或函数参数可以为未知量。

$$y_1-f(t)=f'(t)(x_1-t)$$

已知点 (x₁,y₁) 位于切线上。

$$y_1-f(t)=f'(t)(x_1-t)$$

求解可行切点 t，并代回切线方程。

$$f(x)=x^2:\quad t^2-2x_1t+y_1=0$$

切线为 y=2tx−t²。

设切点为 $(t,f(t))$，则切线为 $$y-f(t)=f'(t)(x-t).$$ 若切线还经过定点 $(x_1,y_1)$，则 $$y_1-f(t)=f'(t)(x_1-t).$$ 解这个关于 $t$ 的方程即可寻找切点。

$$t^2-2x_1t+y_1=0$$

本例为过 (x₁,y₁) 作 y=x² 的切线。

$$N=\begin{cases}2&x_1^2>y_1\\1&x_1^2=y_1\\0&x_1^2<y_1\end{cases}$$

本例不同实根 t 对应不同切线。一般曲线须核对是否重复。

$$f(x_0)=0$$

x₀ 必须属于 f 的定义域。

$$f(x)=g(x)\iff F(x)=0,\quad F=f-g$$

x 属于两个函数定义域的交集。

$$f_k(x)=x^3-3x+k:\quad f_k(-1)=k+2,\ f_k(1)=k-2$$

x=−1 为极大值点，x=1 为极小值点。

$$N=\begin{cases}3&|k|<2\\2&|k|=2\\1&|k|>2\end{cases}$$

本例为整个实数域，临界值 k=±2 含重根。

$$F(x)=A(x)-B(x)$$

A(x)=B(x) 与 F(x)=0 在公共定义域上等价。

$$F\text{严格单调于 }I\Rightarrow\#\{x\in I:F(x)=0\}\le1$$

存在性需结合连续性、函数值或极限另外判断。

$$f\text{递增且可导于 }I\Rightarrow f'(x)\ge0$$

严格递增同样允许个别点导数为 0。

$$f_a(x)=x^3-3ax\text{在}\mathbb R\text{严格递增}\iff a\le0$$

因为 f′=3(x²−a)，a=0 时只有一个驻点。

$$f(x)=x^3-3ax+k,\quad a>0:\ t=\pm\sqrt a$$

a≤0 时无局部极值。

$$f(-\sqrt a)=k+2a^{3/2},\quad f(\sqrt a)=k-2a^{3/2}$$

左式为极大值，右式为极小值；求闭区间最值时还需筛选区间并比较端点。

$$Ax^2+Bx+C=0,\quad\Delta=B^2-4AC=0$$

A≠0；导数为二次式时，用判别式确定根数分界。

$$f_a'(l)=0\quad\text{或}\quad f_a'(r)=0$$

临界点进入或离开指定区间 [l,r] 时，参数分类可能改变。

$$F(x)=A(x)-B(x),\quad A\ge B\iff F\ge0$$

在原不等式定义域内等价。

$$h(x)=x-1-\ln x,\quad h'(x)=1-\frac1x$$

x>0，h 在 x=1 处取得最小值 0。

$$\min_{x\in D}F(x)\ge0\Rightarrow\forall x\in D,\ F(x)\ge0$$

使用最小值的前提是该最小值存在。

$$x-1-\ln x\ge0,\quad x>0$$

等号仅在 x=1 时成立。

证明 $A(x)\ge B(x)$，常令 $$F(x)=A(x)-B(x),$$ 目标变成证明 $F(x)\ge0$。接着用 $F'(x)$ 找单调区间或最小值，若能证明 $\min F(x)\ge0$，原不等式成立。

$$\forall x\in D,\ a\ge g(x)\iff a\ge\sup_{x\in D}g(x)$$

D 非空且 g 在 D 上有上界；能取到上确界时可写 max。

$$\forall x\in D,\ a\le g(x)\iff a\le\inf_{x\in D}g(x)$$

D 非空且 g 在 D 上有下界；能取到下确界时可写 min。

$$\exists x\in D:\ g(x)=a\iff a\in g(D)$$

g(D) 为 g 在 D 上的值域，端点取舍按是否取到判断。

$$\exists x\in D:\ g(x)\ge a\iff\max_D g\ge a$$

本式以最大值存在且能取到为前提。

$$A(w)=w\left(\frac L2-w\right)$$

矩形周长 L>0，宽度 0<w<L/2。

$$w=\frac L4,\quad A_{\max}=\frac{L^2}{16}$$

A′=L/2−2w；长宽相等时取得最大面积。

$$A(w)=w(L-2w)$$

围三边共长 L>0，0<w<L/2。

$$w=\frac L4,\quad l=\frac L2,\quad A_{\max}=\frac{L^2}{8}$$

宽度为垂直墙的边，长度为平行墙的边。

$$\bar v=\frac{s(t+h)-s(t)}h$$

h≠0；位移单位除以时间单位。

$$v(t)=s'(t)$$

位移函数 s 在 t 处可导。

若位移为 $s=s(t)$，则平均速度为 $$\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t},$$ 当 $\Delta t\to0$ 时得到瞬时速度 $$v(t)=s'(t).$$

$$f'(x)=A(x)B(x),\quad A(x)>0\Rightarrow\operatorname{sgn}f'=\operatorname{sgn}B$$

只在已经证明 A 恒正的区间内使用。

$$f'(x)=e^{-x}(1-x)\Rightarrow\operatorname{sgn}f'=\operatorname{sgn}(1-x)$$

e⁻ˣ 对所有实数恒正，分界点为 x=1。

$$e^x\ge1+x$$

x∈ℝ，等号仅在 x=0。

$$F(x)=e^x-x-\frac{x^2}{2},\quad F'(x)=e^x-1-x\ge0$$

F 在 ℝ 上递增；导数只在 x=0 为零。

$$f(x_1)=f(x_2),\quad x_1<x_0<x_2;\quad\frac{x_1+x_2}{2}\quad\text{与}\quad x_0$$

x₀ 为两等高点之间的极值点，偏移方向随具体函数而定。

$$f(x)=x-\ln x,\quad f(x_1)=f(x_2),\ x_1<1<x_2\Rightarrow x_1+x_2>2$$

x>0；对 0<t<1，f(1−t)>f(1+t)，两等高点的中点位于 1 的右侧。

$$f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)$$

f 在区间上可导且向上弯曲时成立；向下弯曲时不等号反向。

$$e^x\ge1+x,\qquad\ln x\le x-1$$

第一式 x∈ℝ；第二式 x>0。等号分别在 x=0、x=1 取得。